Module de Young, module de cisaillement, module en compression, coefficient de Poisson

Définition et mesure.

Approfondissement : les origines des modules.

Pour en savoir plus.

 

Définition et  mesure.  On présente dans l'illustration 1 une courbe typique de contrainte-allongement en traction. La partie initiale de cette courbe est linéaire  (loi de Hooke) jusqu'à la contrainte au seuil de déformation plastique ou limite élastique, définie comme la résistance au seuil de déformation plastique (limite élastique). C'est un comportement élastique ce qui signifie que la déformation est réversible - le matériau revient à sa forme originale lorsque la contrainte est supprimée. Une contrainte supérieure à la limite élastique cause une déformation permanente ou une fracture (voir notes sur Résistance au seuil (limite élastique) et Résistance à la fracture).

         Dans le régime élastique linéaire, la déformation est proportionnelle à la contrainte, mais la contrainte peut être appliquée de plus d'une manière (Illustration). La contrainte en traction  produit une déformation proportionnelle en traction:

               

Et la même chose est vraie en compression. La constante de proportionnalité, E, est appelée le module de Young. De même une contrainte en cisaillement donne lieu à une déformation proportionnelle en cisaillement  

               

Et une pression p engendre un changement proportionnel du volume fractionnel (ou contraction) :

                             

Dans ces expressions, G est le module en cisaillement et K le module en compression. Ces trois modules ont les mêmes dimensions qu'une contrainte, celles d'une force par unité de surface (N/m² ou Pa). En pratique, on utilise une unité plus grande comme celle de 10⁹ Pa, Giga-Pascals, ou GPa.

 

         Les module de Young,, module en cisaillement et module en compression sont reliés les uns aux autres mais pour établir cette relation, nous avons besoin d'une quantité supplémentaire, le coefficient de Poisson. Lorsqu'on l'étire dans une direction, un matériau se contracte généralement dans les deux autres directions. Le coefficient de Poisson, , est égal à moins le rapport de la déformation latérale ou transverse, , sur la déformation axiale, , dans un test en traction :

               

         Vous pourriez penser que la manière de mesurer le module élastique d'un matériau consiste à appliquer une petite contrainte (pour être sûr de rester dans la région linéaire-élastique de la courbe contrainte-déformation), de mesurer la déformation et de diviser l'un par l'autre. En réalité les modules que l'on mesure par la pente des courbes contrainte-déformation sont imprécis, parfois d'un facteur 2 ou plus à cause des contributions à la déformation dues au fluage du matériau ou à la déflexion de la machine pour mesurer cette courbe. On mesure les modules précis de manière dynamique : en excitant les vibrations naturelles d'une poutre ou d'un fil, ou en mesurant la vitesse d'ondes longitudinales ou sonores dans le matériau. 

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Approfondissement : les origines des modules.  Les atomes se lient l'un à l'autre certains faiblement, d'autres fortement. S'ils se lient assez fortement, ils forment des solides; plus la liaison est forte, plus le point de fusion du solide sera élevé. Pensez aux liaisons comme de petits ressorts (Illustration 3). Les atomes ont une distance d'équilibre ; une force  les écarte un petit peu de cette position en , mais lorsqu'on retire cette force, ils bondissent de nouveau vers leur position originale. La même chose se produit en compression car l'énergie des liaisons augmente quelle que soit la direction suivant laquelle on applique la force, comme le suggère la partie inférieure de l'illustration 3. L'énergie de la liaison est minimale pour sa distance d'équilibre. Un ressort qui s'étire d'une valeur  sous une force F  a une rigidité, S, définie par

        

Et c'est la même chose en compression comme en traction. 

         Le tableau 1 donne les rigidités des différents types de liaison; Ces rigidités déterminent dans une large mesure la valeur du module, . La liaison covalente est particulièrement rigide (S = 20-200 N/m); le diamant, par exemple, a un module très élevé car l'atome de carbone est petit (ce qui donne une densité de liaison élevée) et ses atomes sont liés par les ressorts les plus rigides (S = 200 N/m).  La liaison métallique est un peu moins rigide (S =15-100 N/m) et les atomes de métal sont souvent empilés de manière très dense ce qui donne aux métaux aussi des modules élevés, bien que pas aussi élevé que celui du diamant. Les liaisons ioniques, que l'on trouve dans beaucoup de céramiques, ont des rigidités comparables à celles des métaux, ce qui leur donne également des modules élevés. Les polymères contiennent à la fois des liaisons covalentes fortes comme celles du diamant le long des chaines polymériques et des liaisons hydrogènes ou de Van-der-Waals faibles (S = 0.5-2 N/m) entre les chaînes; ce sont les liaisons faibles qui sont sollicitées lorsqu'on déforme les polymères ce qui leur donne des modules faibles.

         Lorsqu'on applique une force  à une paire d'atomes, ils s'écartent d'une distance . Une force  appliquée à un atome correspond à une contrainte  où  est la distance entre les atomes. Un allongement  entre deux atomes séparés d'une distance correspond à une déformation . En substituant cette valeur dans les dernières équations, on obtient

               

Tableau 1  Rigidité des liaisons, S

Type de liaison	Exemples	Rigidité des liaisons S (N/m)	Module de Young E (GPa)
Covalente Métallique Ionique Liaison hydrogène Van der Waals	Liaison carbone-carbone Tous les métaux Alumine, Al203 Polyéthylène Cires	50 - 180 15 - 75 8 - 24 6 - 3 0.5 - 1	200 - 1000 60 - 300 32 - 96 2 - 12 1 - 4

 

En comparant ceci avec la définition du module de Young, on voit que E est approximativement égal à 

               

Les atomes les plus grands ( = 4 x 10^-10 m) liés avec les liaisons les plus faibles (S = 0.5 N/m) auront un module égal approximativement à

               

C'est la limite inférieure pour les vrais solides et beaucoup de polymères ont en fait des modules ayant un peu près cette valeur; les métaux et les céramiques ont des modules d'une valeur 50-1000 fois plus élevée car, comme le Tableau 1 le montre, leurs liaisons sont plus rigides. 

         Une classe de matériaux - les élastomères (caoutchouc) - ont des modules qui sont bien inférieurs à 1 GPa. Un élastomère est un emmêlement de longues chaînes moléculaires avec de temps à autre des réticulations, comme dans l'Illustration 4 (a), comme on l'explique dans Densité et empilement des atomes. Les liaisons entre les molécules à l'exception de ces réticulations sont faibles, tellement faibles qu'à température ordinaire les molécules ont fondu. On décrit ceci en disant que la température de transition vitreuse  d'un élastomère - la température à laquelle les liaisons commencent à fondre - est en dessous de la température ordinaire. Les segments sont libres de glisser les uns par rapport aux autres et s'il n'y avait pas de réticulations, le matériau n'aurait pas de rigidité du tout.

         La température favorise la distribution spatiale aléatoire. C'est pourquoi les cristaux fondent en donnant des fluides sans ordre à leur point de fusion. L'emmêlement de l'illustration 4 (a) présente un haut degré de distribution spatiale aléatoire, ou exprimé en termes de thermodynamique, son entropie  est élevée.  En l'étirant comme en (b), on aligne les molécules - Certaines parties commencent maintenant à ressembler aux cristallites montrés dans les notes sur  Densité et empilement des  atomes.  Les cristaux sont ordonnés le contraire d'une distribution spatiale aléatoire; leur entropie est faible.  L'effet de la température est d'essayer de revenir au désordre, ce qui fait que le matériau essaie de revenir à un emmêlement aléatoire et les réticulations lui donnent une « mémoire » de l'état désordonné qu'il avait initialement. Il y a donc une résistance à l'allongement  - une rigidité - qui n'a rien à voir avec l'étirement des liaisons mais plutôt avec un ordre induit par la déformation. Une théorie complète est compliquée - elle implique la mécanique statistique d'emmêlements de longues chaînes - il n'est donc pas facile de calculer la valeur du module. La principale chose à savoir est que les modules des élastomères sont bas car ils ont cette étrange origine et qu'ils augmentent avec la température (à cause de la tendance accrue à une distribution spatiale aléatoire), alors que ceux des vrais solides diminuent (à cause de la dilatation ou expansion thermique).

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Pour en savoir plus.
Auteur	Titre	Chapitre
Ashby & Jones	Matériaux, Tome 1 & 2	Tome 1, Chap. 3, 6, 7
Baïlon & Dorlot	Des matériaux	1, 2, 4
Ashby et coll.	Materials: Engineering, Science, Processing and Design	4, 5
Ashby & Jones	Engineering Materials Vol 1 & 2	Vol. 1, Chap. 3, 6, 7
Askeland & Wright	The Science and Engineering of Materials	2, 6
Budinski	Engineering Materials: Properties and Selection	2
Callister & Rethwisch	Materials Science and Engineering: An Introduction	6
Callister & Rethwisch	Fundamentals of Materials Science and Engineering: An Integrated Approach	7
Shackelford	Introduction to Materials Science for Engineers	6

Autres références

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